Título: Construcción de números simplemente normales con dependencias de dígitos
Directora: Verónica Becher
Jurados: Santiago Figueira y Martín Mereb

Resumen:
Dado un entero b mayor o igual que 2 y un conjunto P de números primos consideramos el conjunto T_b de números de Toeplitz compuesto por los números reales de [0,1) cuya expansión en base b dada por {a_n}_{n>0} satisface a_n = a_{pn} para todo p en P y n>0.

Un número es simplemente normal una base entera b en el sentido de Borel en si en su expansión en base b todos los dígitos aparecen con la misma frecuencia asintótica. Un número es normal si es simplemente normal en cada base que es potencia de b. Se sabe que casi todos los números de Toeplitz T_b (respecto de la medida uniforme en T_b) son normales en la base b.

Usando funciones completamente aditivas, construimos un número en Toeplitz que es simplemente normal en base b si y solamente si P cumple la siguiente condición:
Para b>2, la suma de los inversos de los elementos en P debe divergir.
Para b=2, la suma de los inversos de los elementos en P debe divergir, o 2 debe no estar en P, según el caso.

Primero damos la demostración para el caso b = 2, luego para b > 2. Damos además otra demostración para todo valor de b mayor o igual que 2 junto con una cota superior efectiva para la discrepancia de las secuencia (b^n x mod 1)_{n > 0} para el número x que construimos.

Este es el primer ejemplo explícito de un número de Toeplitz simplemente normal en una base dada. Fue recientemente publicado:

On simply normal numbers with digit dependencies.
V. Becher, A. Marchionna, and G. Tenenbaum.
Mathematika, 69(4):988–991, 2023.
https://doi.org/10.1112/mtk.12216